Guia 1

Para la resolucion es esta guia aplique Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones.

Sea una función compleja f(z), con z = x + iy. Se sabe que f(z) se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z) = f(x,y) = f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y). Si la función f(z) es derivable en un punto z0 = x0 + iy0 entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:

ux(x0,y0) = vy(x0,y0)
vx(x0,y0) = − uy(x0,y0)

Donde ux significa la derivada parcial de la función u respecto a la variable x, usualmente

simbolizado . Análogamente para uy, vx y vy.

Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:

f'(z0) = ux(x0,y0) + ivx(x0,y0) = vy(x0,y0) − iuy(x0,y0)

Guia 2

Para la resolucion de esta guia use los metodos de Cauchy-Goursat y Morera

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Por función compleja de variable compleja, entendemos una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir, f: A ⊆ C −→ C. Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja, u(z) = _e f (z), v(z) = _m f (z). Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A. Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales. Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades.

Números complejos

Estos sólo intervienen el módulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C. Sea

f: A ⊆ C −→ C y sea z0 ∈ C un punto de acumulación de A. Es decir, D (z0; ε) ∩ (A \ {z0}) = ∅, ∀ε > 0 (Nótese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no). Diremos que

Lim A_z→z0 f (z) = α ∈ C Si (por definición)∀ε > 0, ∃δ > 0 _ (0 < z - z0 < δ ∧ z ∈ A) → f (z) − α < ε.
Propiedades

Las propiedades de los límites y funciones continúas (con demostraciones análogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados.Sean f, g: _ ⊆ C −→ C y z0 ∈ _ tal que lim z→z0

f (z) = α, lim z→z0g(z) = β.

Numeros Complejos

Números Complejos

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose queLos números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.